Hur stor är chansen att få 10 rätt på tipset med en enkelrad?
(Jag rekommenderar att ni skriver ut denna sida istället för att läsa den på skärmen)

-Ja, den är onekligen inte stor, det vet de flesta som tippar. Att sen få 11, 12 eller kanske till och med 13 rätt vet de flesta om att det ej hör till vanligheten. (Kom ihåg, vi talar fortfarande om EN enkelrad. Med system på flera rader blir utgångsläget genast mycket bättre.)

För er som inte ägnat den senaste tiden åt matematiken, och er som ej läst avsnitt som berör sannolikhetslära kan det se lite tufft ut till en början - och det måste erkännas att det är det också - men med tålamod och vilja kommer de som vill också att kunna förstå och själv räkna olika sannolikheter för t ex tipset. Det bör dock påtalas att det inte är som att läsa en kokbok där ingredienserna listas och vips så har man skapat ett kulinariskt mästerverk. (Ursäkta alla kockar, jag vill inte låta framstå ert arbete som något simpelt jobb, men skillnaden är att salt alltid är salt och att strö den över en chateau-de-la-strange är ganska lätt att förstå handgripligen för de flesta. Att däremot förstå ingående komponenter i en matematisk formel kan stundom vara ganska lurigt. Det blir inte lättare om man inte har någon att fråga utan måste lita blint på den text man läser, det vet alla som svär sig förbannade på diverse manualer)

Steg nummer ett i vår resa blir att klargöra lite uttryck och regler i Sannolikhetens och matematikens värld. Dessa uttryck är rätt vanliga och vi bör hålla oss till dem vi också:

1) Chansen för att något ska inträffa är som bekant inom 0 - 100%. Antingen har vi ingen chans alls (0%) till att det alltid inträffar (100%), och därimellan har vi hela spektrat. Vi använder beteckningen 0 - 1 när vi gör beräkningar, dvs om chansen är 100% används värdet 1 (ett). Är chansen 50/50 (singla mynt) skriver man 0,5. För 25% blir det 0,25 osv.

2) I stället för att hela tiden skriva "sannolikheten för...", använder man bokstaven p. Det kommer ifrån engelskans motsvarighet till sannolikhet = Probability. Så, när man skriver p=0,5 innebär det att sannolikheten är 50% för något. Till exempel: p=0,1666 för att få en etta på en tärning på ett kast (dvs en av sex, 1/6 = 0,1666...)

3) Multiplikationsregeln: Om sannolikheten är 50% att få klave vid slantsingling (alltså, p=0,5) blir sannolikheten att få två klave i rad lika med 25%. Man multiplicerar helt enkelt sannolikheten för ett kast för så många kast man vill räkna för. 0,5 x 0,5 = 0,25 (Det är bl a här man ser varför procenttal inte är så användbart, 50x50=2500.) Kastar man tre gånger blir svaret 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 (12,5%), osv.
Anta att vi singlar slant 10 gånger, då skulle uträkningen se ut så här: 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0009765625. Lite bökigt att behöva skriva 0,5 för samtliga kast. Istället används benämningen "upphöjt till", och skulle i detta fall se ut : 0,5^10 "noll komma fem upphöjt till tio" (normalt skrivs 10:an snett uppe till höger om 5:an, men detta skrivsätt används också då det andra inte är möjligt) Skrivsättet 0,5^10 innebär att man multiplicerar 0,5 x 0,5 ... x 0,5 tio gånger.

4) Summationsregeln: Summerar vi alla utfall som är möjliga för en händelse blir svaret alltid 1. Ta slantsinglingen som exempel. Om vi singlar ett mynt två gånger är dessa utfall möjliga: klave-klave, klave-krona, krona-klave, krona-krona. Vi har alltså fyra möjliga utfall där vardera utfall har 25% (se punkt tre) möjlighet att inträffa. Summan av dessa är 0,25+0,25+0,25+0,25 = 1. Att summan alltid blir ett baseras ju på att vi räknar med alla möjliga utfall, och siffran 1 motsvarar 100%, och myntet måste ju komma ner när vi kastar, eller hur.

5) Motsatsen till att något inträffar är ju att det inte inträffar. Innebörden är ganska självklar men det kan vara lite knepigt att hålla hjärncellerna rätt i alla lägen. Skrivsättet är 1 - p. Om sannolikheten är ca 16,6% för att gissa vad ett tärningskast ger så är sannolikheten 1 - 0,1666 = 0,8333  att du inte prickar rätt.

6) Kombinationer: Ett lite svårare ämne men ack så nödvändigt att kunna hantera. Kombinationer används när man vill räkna ut på hur många olika sätt något kan kombineras inom ett givet antal möjligheter. För att klargöra detta kan vi tänka oss att vi har 10 lådor samt 4 bollar som kan placeras en och en i någon av lådorna. Frågan blir då: På hur många olika sätt kan man lägga bollarna i lådorna?
- Man kan lägga dem i låda1, låda2, låda3 och låda4. Och i 1, 2, 3, 5...1, 2, 3, 6...ända till 7, 8, 9, 10. Det skulle ta lite tid att skriva upp alla kombinationer, men genom att räkna ut det blir det smidigare. Svaret blir 210 st och förklaras här:   Formeln som används är: n! / (X! x (n-X)!) = 10! / (4! x (10-4)!).   Utropstecknet är en matematisk term som kallas fakultet och betyder helt enkelt att man multiplicerar talen från 1 upp till det tal som står före utropstecknet.
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3.628.800
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
10! / (4! x 6!) = 3.628.800 / (24 x 720) = 210
Siffran 10 kommer från hur många möjliga platser vi har (i detta fall lådor). Siffran 4 är antalet enheter som ska placeras ut (bollar), och siffran 6 är skillnaden mellan platser och bollar, 10 - 4.

Avancerade miniräknare har denna kombinationsfunktion inbyggd och beteckningen brukar vara 'nCr'.
Uttrycket för kombinationer n!/(X! x (n-X)!) skrivs enklare på ett annat sätt, men formeln går inte att visa på denna sida. Benämningen är i alla fall 'n över X'.

En annan variant av termen kombinationer kallas permutationer. Skillnaden är att vid kombinationer tar man ingen hänsyn till ordningen av de enheter som placeras ut, vilket man gör vid permutationer. Som i exemplet med bollarna i lådorna. Om alla bollar vore röda så spelar det ingen roll om boll1 läggs i låda5 och boll2 läggs i låda3 eller vice versa, det ser likadant ut. Men har vi olika färg på bollarna så blir det ju en skillnad om vi lägger en blå boll i låda5 och en gul i låda3 eller tvärtom. Detta kallas permutationer. Hade vi haft olika färg på alla fyra bollarna skulle vi få:
10! / 4! = 3.628.800 / 24 = 151.200 olika placeringar. (en skillnad mot tidigare 210 kombinationer)

Nu ska vi räkna ut sannolikheten att få ett bestämt antal rätt på tipset. Vi kommer använda begreppen från ovanstående beskrivningar.

Låt säga att vi vill räkna ut chansen att få 10 rätt på en enkelrad. Vi börjar med att ställa upp alla fakta vi har:
a) Sannolikheten att pricka rätt på en match är 33,3% (det kan ju bli 1:a, X eller 2:a). p=0,333
b) Vi har 13 matcher. n=13 (motsvarar antalet lådor i tidigare exempel)
c) Vi ska ha 10 rätt. X=10 (motsvarar antalet bollar i tidigare exempel)
Om tio matcher ska prickas in använder vi multiplikationsregeln: p^X = 0,333^10 = 0,000016935087.
Dessutom ska tre matcher gå fel (vi sa bara 10 rätt): (1-p)^(n-X) = 0,6667^3 = 0,296296.
Till sist, hur många sätt kan man få tio rätt av 13 matcher: 13! / (10! x 3!) = 286.

Multiplicera samtliga termer : 0,00001693 x 0,296296 x 286 = 0,001435 (0,14% chans) vilket är 1 på 697.

Samtliga sannolikheter på tipset:

0 rätt: 0,51%
1 rätt: 3,34%
2 rätt: 10,02%
3 rätt: 18,37%
4 rätt: 22,96%
5 rätt: 20,67%
6 rätt: 13,78%
7 rätt: 6,89%
8 rätt: 2,58%
9 rätt: 0,72%
10 rätt: 0,14%
11 rätt: 0,020%
12 rätt: 0,0016%
13 rätt: 0,0000627%  ( 1 på 1.594.323 )

Summerar vi alla procenttal får vi 100%, vilket det givetvis måste bli eftersom sannolikheten att få något mellan 0 och 13 rätt är 100%.

Sättet som vi räknade ut tipset på är taget ur något som kallas binomialfördelning, och det är inte det lättaste måste medges. Formeln i sin helhet är:

P(x) = 'n över x' * p^x * (1-p)^(n-x)

Denna formel är generell för alla liknande beräkningar och kan användas i liknande sammanhang där sannolikheten vill räknas fram. Om vi håller oss till t ex spel (det används flitigt i seriösare sammanhang också, tro mig):
- Vad är chansen att få exakt 3 sexor på 7 tärningskast.
- Vad är chansen att få 2 klöver på fem dragna kort (samma mängd kort måste finnas vid varje dragning)
- Vad är chansen att det finns exakt 5 kvinnor i en slumpmässig grupp på 10 personer (det är INTE 50%)
- Etc, etc, etc....